但凡学过高数的美高梅app下载官网，应该见过 这个象征。它由爱尔兰物理学家哈密顿(William Rowan Hamilton)于1837年引入，因此被称为Hamilton operator，也叫del算符，华文读作“倒三角”，英文读作“nabla\"。它是一个能进行微分运算的算符，在三维直角坐标系中界说为
是不是以为有点怪怪的，若何上头的偏导象征背面是空的，这便是算符的特色，就好比一个空根号 ， 虚席以待，对放入其中的东东引申特定的运算，对 来说，它引申的运算是偏导。
温馨教唆：以哈密顿的名字定名的另一个算符——Hamiltonian，是指量子力学中的能量算符，请勿污染。
既然算符自己并不是量，因此不可说 矢量，只可说是矢量算符——“矢量”二字仅作为算符的修饰语。对此，梁灿彬先生有一个纯真是比方：
算符正张嘴等你喂食，惟有吃进一个量智力成为某个量。
矢量可以与标量数乘，还可与矢量点乘和叉乘。而作为矢量算符， 也相应有三种运算。
它若作用在标量上，则对该标量求三个偏导，访佛数乘，称为梯度。它若作用在矢量上，可以分两种情况：第一种情况，它的三个偏导分别作用在矢量的三个对应份量上，这种对应关系访佛于点乘，称为散度；第二种情况，它的三个偏导按照叉乘的法则作用在宗旨上，称为旋度。
底下分别仔细讲讲这三个东西是什么。
1. 什么是梯度?
函数 的梯度记作 或 。在直角坐标系中，函数 的梯度界说如下
梯度到底是个神马东西？且听我缓缓说念来。
温馨教唆：文中数学算式若夸耀不全，诸君请动动您的小指头轻触公式并支配滑动即可。
1.1 先粗拙点，什么是坡度？
常常用落差形容两点之间的高度差，而坡度则走漏落差与水平距离的比值。如下图直角三角形斜边的坡度为 。
而如下图左边的台阶，它的总体的坡度（ 参考 点连线的坡度）是
图中四条斜线的的坡度次第减小，台阶上名义的坡度为零，而台阶的竖直面的坡度则为无限大。可见，坡度看起来老是与一段有限大小的距离关联的，并不可着实的给出各个点的邃密无比情况。
上头右边的图中，任一台阶 的坡度 （也便是图中各彩色线段的斜率）为
此刻，我的脑海里的抖擞好像可用底下这幅图来形容。
1.2 若坡度连气儿变化，若何办？
上头台阶图中的那些线段连成一条折线，若用函数走漏，是一种不连气儿的跃阶函数。设计每一步台阶无限小，水平宗旨随性坐标 处的无限小台阶的坡度为
由于每一步台阶齐无限小，因此高度 随水平距离 连气儿变化，折线变成光滑的曲线，可用一个连气儿函数 形容。若该函数不出现急拐歪——那种是非的峰或谷（例如 在 处），在数学上称之为可导。
要磕倒一定要连气儿，但连气儿不保证磕倒
上述 即为该函数在职意位置 处的导数
它给出 处无限小的台阶的坡度。例如，对下图所示的这种曲线，其坡度亦然连气儿变化的，笔据关系 ，可得导数为 ，它是一个减函数，也便是说，坡度随 加多而减小。
再比如，函数 的导数是 ， 越隔离原点，坡度越来越大，因为函数图像是一条启齿朝上的抛物线，原点是最低点。随着 坐标逐渐隔离原点，对应点的斜率增大。
由以上商榷可知，对一维曲线，曲线在某点的坡度，数学上是函数的导数，几何上黑白线在对应位置的切线的斜率。换句话说，坡度、导数以及切线的斜率在职一丝是唯独细目且等价的，它们齐可用来形容函数随自变量的变化。
1.3 对二维曲面，坡度管用吗？
对一个二维曲面，如何形容它在某处的坡度呢？例如下图中的斜面，你可能会说，这个粗拙啊，斜面的坡度未便是斜面的高除以底边长度嘛！显著它的坡度与沿着斜面朝上的那一条线的坡度疏浚。
再例如，我们把曲线 绕着 轴旋转，就会造成一个二维曲面，称之为旋转抛物面。如下图所示，它的方程是 ，你自然会猜想，这个曲面上任一丝的坡度应与抛物线一样，对吗？
要是你按照斜面的方式来看，也便是说，你指的是沿着曲面朝上宗旨的坡度，那么它的确便是抛物线所给出的阿谁坡度。但与曲线不同的是，曲面上任一丝前进的宗旨不啻一个，而是无数个，前边提到的斜面亦然如斯。很显著，沿不同宗旨，曲面升降有快有慢。
要是你认为坡度可以沿不同的宗旨界说，那么不同宗旨的坡度显著是不同的。以上述斜面为例，从点 沿水平宗旨坡度为零，而沿斜面朝上的宗旨，坡度最大。因此，当形容坡度时，你必须指明所暖热的宗旨。
若你认为坡度老是指曲面升降最快的阿谁宗旨的坡度，那么，对随性宗旨曲面升降快慢的形容，应领受另一个主张更合适，它便是宗旨导数。
1.4 宗旨导数来救场了
什么是宗旨导数，其实无谓想的太复杂。笔据前边所讲的，导数便是坡度的极限，那么宗旨导数便是给定宗旨的坡度的极限。
如上图所示，二维曲面由函数 形容， 面上，点 和 的距离为 , 的函数值相对 的函数值的增量为 。则参照上头的那句话
即为函数在 点的沿 的宗旨导数的界说式。 前边说过，任一丝 的坡度有无数个，当今指定了一个细目的宗旨，那么这个坡度便是细目的，它的极限便是该宗旨的宗旨导数。
呃，这个坡度的极限若何求呢？
函数值的增量由它的自变量的增量导致，那么你很容易猜想，这些增量之间应该存在某种关系，猜想最粗拙的关系是线性关系，也就说 其中 和 与 和 无关。但是现实上，这是不树立的，除非函数 是线性函数。
但东说念主们发现，当 和 齐趋于零时，上式是树立的！此时 和 分别是函数在该处的两个偏导数。即
至于这里面的偏导是什么的问题，你完全可以按照前边讲的一元函数的导数去交融，只是当你求某个自变量的偏导时，将其他自变量视为常数即可。要是你还不懂，请参看本公号之前的一篇著述：“稳妥高中生和大一更生的泛泛微积分：导数、微分、偏导和全微分”。
当不得志趋于零的条目时，就存在一个差值，我们用一个高阶小量填补这个差值，因此就有
上式背面的 代表由 和 组成的高次项。
这现实上是数学里一个被称之为“泰勒展开”的瑕疵律例。它的基本念念想是：当一个函数的变化值很小时，它总可以用自变量的增量的从1开始的次幂的线性组合来近似，幂次越大，则近似进度越高。上式中的最高幂次是1，近似进度是最低的。
笔据矢量的点乘法则，上式即为设 与 轴夹角为随性值 ，则与 轴夹角为 ，则有 故有 代入到宗旨导数的界说式中，即得到 由于 是高次项，当 时，其值为零，故得 至此，通过极限的运算得到了宗旨导数的抒发式。
在以上流程中，我们将 看作一个合座的象征来分析的。其实也可以换一种念念路，既然宗旨导数便是特定宗旨的坡度的极限，那么就从该极限启航往前推导吧，极限不就等于两个微分相除嘛！ 扫视，此式与前边的界说式比拟，只是支配调换了，但念念路不同，这里是等号，而非界说。当今将右边的导数象征作为两个微分相除，笔据二元函数的全微分（不解白？请参看本公号之前的著述：“稳妥高中生和大一更生的泛泛微积分：导数、微分、偏导和全微分”）上式除以微分 得 相同得到上述宗旨导数的抒发式，流程更粗拙。
以上是按照二元函数来讲的，因为基于二维曲面能比较直不雅的交融。对于随性多个变量的函数，其宗旨导数亦然访佛走漏。例如函数 的宗旨导数为 其中 分别是 与 轴的夹角。
回头看，一维曲线（一元函数）为什么莫得宗旨导数？因为它的自变量只可沿唯独的数轴宗旨变化，不需要界说宗旨导数。
讲了半天的宗旨导数，它有神马用？它给出空间曲面任一丝处，沿某个宗旨的坡度。说到这里，很容易猜想一个问题，阿谁坡度最大的宗旨是哪个？对应的坡度又是几许？
1.5 宗旨导数的最大值
由于宗旨是通过余弦函数来体现的，余弦函数属于 ，因此有的东说念主就粗拙的认为，宗旨导数的最大值是
对吗？不妨用前边提到的抛物面来老到一下，由其函数抒发式 ，检会点 处的最大宗旨导数，上式给出的值为4。但显著，抛物面的坡度的最大值是旋转抛物线 （或 ）在对应旋转半径处的导数。由于点 对应抛物线的旋转半径是 ，故得抛物线在此处的导数为 是以，上述宗旨导数的最大值 深信是分歧的！现实上，随性宗旨与数轴夹角的余弦之平方和必为1，否则该宗旨是不存在的，因此也不可能有上述阿谁值！例如上述抛物面，不存在与 轴的夹角齐为零的宗旨。
底下来看，这个最大的宗旨导数到底是什么。
笔据矢量的点乘，三元函数的宗旨导数可写成 由于 ，故背面括号中的矢量的模为1，它是一个沿着某个 宗旨的单元矢量 。而矢量点乘沿某宗旨的单元矢量，便是矢量在该宗旨的投影。故上式标明，矢量 在 宗旨的投影便是函数 在该宗旨的宗旨导数，即 而矢量沿随性宗旨的投影的大小不会超过自身的模，因此，宗旨导数的最大值便是上述矢量的模，即
例如，对旋转抛物面 ，在点(1,1)处，该值为 与旋转抛物线在该处的导数疏浚。
好了，我们找到了这个模取最大值时的宗旨导数，它的模便黑白面在对应点的最大坡度，而它沿随性宗旨的投影即为沿该宗旨的宗旨导数。
1.6 梯度终于登场了！
我们找到了一个特别瑕疵的矢量，它给出空间中的一个特征宗旨。沿该宗旨，宗旨导数取最大值，也便是场函数的变化最快的宗旨。
很显著，这个矢量太瑕疵啦！可以，它便是所谓的梯度！常常用 或者 走漏，例如函数 的梯度记为 或 ，即开始时给出的(1.1)式 梯度是什么？粗拙的说，一个函数 的梯度 ，亦然一个函数，但同期又是矢量，它在职意点的模是函数在该点的宗旨导数的最大值，而它在该点矢量的宗旨则给出函数取值变化最快的宗旨。
基于梯度的主张，可以把宗旨导数再回顾一下：宗旨导数是梯度矢量在相应宗旨的投影值。也便是说，沿随性单元矢量 的宗旨导数总可走漏为
基于此式，有两个常用的论断，一个是函数的沿某宗旨的微分，它等于梯度与自变量空间的矢量微分的点积，即
其中 。另一个是此式的积分时事，即 此式右边是梯度在 之间的曲线积分，左边老是函数 在这两点的函数差值，这阐发梯度的积分与旅途无关！现实上，这便是物理中的保守力的主张的来源。一种势能的负梯度是它对应的保守力，是以保守力作念功与旅途无关。
窃以为，除界说式(1.1)除外，上述(1.2)~(1.4)三个等式应该是梯度的中枢与精华，你值得领有。
还有两个值得扫视的问题再提醒一下。
第一、梯度指向函数值变化最快的宗旨，着实的说，是函数值加多最快的宗旨，而不是减小最快的宗旨。只须按照梯度公式策画，自动会得到这个宗旨，背面一个对于点电荷电场的例子展示了这一问题。
第二、梯度是自变量空间中的矢量。例如函数 的梯度矢量如下图中箭头所示，它在 平面内，而非在曲面上。
1.7 其他坐标系中的梯度
上头讲的，似乎齐只局限在直角坐标系，常用的柱坐标、球坐标系中的梯度又是怎么的呢？
率先必须明确，梯度与宗旨导数的关系亦然零丁于坐标系的，即：宗旨导数是梯度矢量在相应宗旨的投影值。据此，设有某正交坐标系，沿单元矢量 宗旨挪动 的距离，函数变化 ，则必有
因此 ，前边刚提过这俩式子。
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而函数作为坐标变量的函数，其全微分具有与直角坐标系疏浚的时事，正交坐标系中 的全微分的一般时事是 当今只须把该坐标系中的 找出来，让后比较这两个 ，就可以得到 的抒发式了。
先看柱坐标系，如上图所示，从 挪动到 点，可以作为是次第沿着 三个宗旨挪动，笔据矢量三角形法则，有
当 时，忽略高阶无限小，则得 而柱坐标系中，函数的全微分为 将此 写成 的时事 按矢量的点积法则，则得梯度为
再看球坐标系，如下图所示
相同，笔据矢量三角形法则，可得 取极限得 同理得球坐标系中的梯度抒发式为
1.8 举几个例子
率先来看如何求函数的梯度，并据此求宗旨导数。
笔据梯度与宗旨导数的关系，即(1.2)式 只须将梯度乘以某个宗旨的单元矢量，可以得到随性宗旨的宗旨导数。
例1：设有函数
其代表的曲面如下图。XOY面上一丝 沿着三个不同的宗旨指向 , 和 ，对应的矢量分别走漏为 ， 和 。 策画函数在 点沿这三个矢量的宗旨导数。
先算梯度，笔据梯度抒发式在 处的梯度为 它的模为 。
对矢量 ，它的值为 ，故其单元矢量为 故宗旨导数为 对矢量 ,它的值为 ，故其单元矢量为 故宗旨导数为 对矢量 ，它的值为 ，故其单元矢量为 故宗旨导数为 很显著，沿着 的宗旨导数最大，刚巧等于梯度的模，从图可知，曲面沿此方朝飞腾最快，这便是梯度宗旨。
例2：以上述旋转抛物面为例，老到一下梯度与宗旨导数的关系。
抛物面函数 的梯度为
代入坐标(1,1)，得梯度的模为 刚巧便是抛物线 在旋转半径处的导数值，这阐发旋转抛物面沿着该宗旨具有最大的宗旨导数，即为抛物面的梯度。
底下再从求宗旨导数的最大值来考据一下这个成果。
检会一个随性宗旨 沿此宗旨的导数为 依直观，沿径向往外的宗旨应是抛物面飞腾最快的宗旨，此时 得志故得 代入坐标 得宗旨导数最大值为 。
对上述流程，有东说念主可能以为前边“依直观”有点牵强，其实也可以纯正推导得到，令宗旨导数为 的函数 寻找取极值时的 值，求导如下 则有 联立 得 与上述“依直观“保握高度一致。
例3： 求点电荷的电场的梯度。
设真空中带正电 的点电荷处在原点，以无限远方为电势零点，则距离原点 处的电势为
笔据上述球坐标系中的梯度的抒发式，得空间电势梯度为
前边负号标明梯度矢量沿向指向球心的宗旨，即电势加多最快的宗旨，这阐发沿径向往外的宗旨，电势减小最快，而这刚巧便是正电荷的电场的宗旨。
1.9 梯度与等值线（面）
二元函数 给出一个曲面， 坐标疏浚的点在 面上形容出一条平面曲线，称之为等值线。典型的例子如等温线，等高线。如下图所示，下部分为等高线。
要是是三元函数，则函数值疏浚的点得志 ，造成一个曲面，称之为等值面，典型的例子如电场的等势面。如下图所示，紫色的曲线就代表电场的等势面。
而对于更高维空间的函数，诚然在这里无法径直展示，但也相同具有相应维数的高维曲面作为等值面，与空间的梯度矢量处处垂直。
一般商定相邻的等值线（面）的函数差值疏浚，如前边山丘的等高线，每两条等高线对应的高度进出10个单元高度。
为什么等值线（面）与梯度联系呢？
它们齐在函数的变量空间中，例如函数 的界说域 平面。梯度是矢量，在职何一丝，它老是指向函数值的变化最快的宗旨，而等值线老是那些函数值疏浚的点组成的线（面）。
二者之间的一个瑕疵关系是：等值线(面)与梯度处处相互垂直。
这可用反证法阐明：假定不垂直，则梯度沿着等值线(面)的切线重量不为零，这会导致等值线(面)上两点之间存在函数差值，这与等值线(面)的自己的界说矛盾，故梯度必定与等值线(面)处处相互垂直。
自然，要是你要严格从数学上阐明这个论断，其实也不难。
常用的依据是：两个非零矢量若相互垂直，则它们的点积等于零，反之亦然。
因此，我们只须阐明梯度矢量和等值线(面)的切向矢量的点积的确为零即可。
但有东说念主可能犯难了：这梯度矢量倒是知说念了，便是 ，可等值线(面）的切向矢量该若何得到呢？
以二元函数 为例，它的随性等值线为 它是一条位于XOY平面内的平面曲线。将这条线想象成一个粒子解析的轨迹，它的解析方程为 笔据解析学可知，曲线上任何一丝的速率 齐沿该点的切线宗旨， 而这个速率便是上式对 的导数 ！换句话说， 的宗旨刚巧就沿着等值线的切线宗旨。
是以，只须能推得 就阐明了上述命题了。
将 和 的抒发式代入上式左边，得 看出来了吗？这不是便是求复合函数 的导数嘛！因此得 这下就亮了！因为前边说了 等于常数 ，因此 命题得证。
底下是静电场的等势面的例子。
如下图所示，两个等量异号电荷的等势线与电场线的散播情况，学过一丝高中电场的同学齐知说念，均匀电场中一段距离上的电势差为
惟有沿着电场宗旨挪动，才会产生电势差，设挪动矢量为 ，则引起电势转变的有用距离 是 在平行于电场宗旨的投影，由于电场指向电势裁汰的宗旨，是以有
当 时，上式即为 据前边提到的渊博律例 可知，电势的梯度为 ，即 即电场强度指向电势裁汰最快的宗旨，电势梯度宗旨与电场宗旨相背，等势面与电场线处处正交，如下图所示。
若将 双方积分便得到 也便是 左边为单元正电荷从 移到 后，电势能的减极少（运行值减去自后的值）， 右边是电场力对单元正电荷所作念的功，因此得到一个常见的论断：电场力作念的功老是等于电势能的减极少。
上述分析，若从 启航，径直诳骗前边提到的梯度的三个精华与中枢的关系式，则愈加直吐胸怀，下里巴人。
1.10 梯度与旅途搜索
梯度给出了函数值变化最快的宗旨，这话自然没错，但是这句话并不具有齐全实用性，什么真谛？粗拙的说，梯度只可给出局域变化最快的宗旨，并不可径直给出长距离上的函数变化最快的宗旨。假若你说：梯度给出高维曲面险阻降最快的旅途，那就大错特错了。如下图，这条旅途便是按照各点梯度给出的矢量连成的旅途，显著，它并不是最短的旅途。
一座绵亘接续的山，若在它正下方海拔为零的平面 上界说函数 ， 用它走漏对应坐标处山的的海拔高度。对平面上一丝，朝不同的宗旨走，山的高度的变化趋势是不同的。
若梦想的旅途的谋略惟有一个，便是距离尽可能的短。这就要求高度在所行进的方朝上是变化最快的。若何比较不同宗旨，山的高度值变化的快慢？
有两种等价的方法。可以在坐标空间中沿着不同宗旨挪动疏浚的距离，找出高度变化最大所对应的宗旨；也可以章程疏浚的高度变化值，然后找出坐标空间中挪动的最短旅途的宗旨。不外，在上述判断方法中，惟有当挪动的距离充足小，所判断出的宗旨才越接近真实的梯度宗旨。
老丁、老郑和王局一齐从山顶下山，要是要求他们从山上每下落一定的高度 ，所走的旅途最短，当这个章程值 特别小时（比如10米以内），他可将渐渐的位置坐标代入山名义函数的梯度中，得到一个移步的宗旨。老丁据此方式下山，他沿着由一系列局域的最短旅途揣摸而成的旅途下山，如下图中绿色曲线。
等老丁下山之后，他发现王局和老郑早就在山脚等候多时。原本老郑按 辩论最好旅途，成果所走的路比我方的短多了，而王局知说念半山腰处有电梯，况兼去电梯的路显著照旧修好了，深信也蛮近的，因此他径直走通衢到半山腰，然后乘电梯直落山脚。
自然，上述例子中的山应有一种梦想的名义，不会出现多样峭壁和无法跳动的沟壑，尽可能的光滑，可交融为是一座“数学上可微分的山”（望望底下这幅草原好意思图感受下），否则老丁没法按照那么小的 来辩论他的最好旅途。
诳骗等势面也可以解释上述问题，例如下图所示为一山脊的等高线，从平地 处启航到山顶 的旅途中，处处与等高线保握正交的绿色旅途是最接近梯度宗旨，即绿色旅途，处于相邻等高线之间的每一段均是最短的阿谁距离，但其总长度彰着却不是最短的阿谁。
由本例可知，诚然梯度函数给出了局域的最短旅途，但在经过一个长距离的积蓄之后，这个旅途一般不是最短的那一个。
为什么会这样呢？因为梯度并不是与一段空间对应的，而是与每个点对应的。而现实的最短旅途必定是在全局配景下探讨的。局部最短和全局最短不可能兼得，只可适应结伙。
皇冠客服飞机：@seo3687这的确是一个长远的哲理，就好比一个东说念主风俗垂头走路，提神翼翼，每一步齐走的很塌实很平稳，可一昂首才发现，前边不远方是一说念无法逾越的峭壁。有的东说念主为了争得目下的无关宏旨，失去了获取异日更大建立的契机，而有东说念主只着眼于高大的宗旨，不扫视活在当下的细节，失去健康，为山止篑。
1.11 梯度下落法
探讨一个粗拙的问题，寻找函数 的最低点的位置，扫视，我在这里用了“寻找”一词，你就别指望用已学的二次函数的那些伟大教授方法了。我们需要用一种算法，让策画机帮我们完成任务。
策画机擅长快速的，重迭的按照设施来作念事，你可以这样安排它：
1.在数轴上有时取一个值，如 ，得 。
2. 在10支配各取一个点，比如9和11，得 和 ，由于 更小，是以应向负轴宗旨延续寻找。
3. 取一个稍小的 值，将所得值与上一步比较，要是仍减小，则重迭此步，若险些不变，则终末的 值即为最终成果，达成设施。
上头这件事看起来挺容易，但要作念好的话，还挺拆开易。有莫得一种笔据函数值下落的宗旨，自动获取下一步的坐标的方法呢？有，其实还不少，其中有一种叫作念梯度下落法。
当函数惟有一个变量时，梯度和导数是吞并个东西，即 。笔据梯度的真谛，它的宗旨与函数加多的宗旨一致，故 的象征与函数值增量的象征一致，当它为负时，函数值减小，而当它为正时，函数值加多。
因此，在原坐标上减去一个与梯度值象征一致的数，就能确保自变量老是往函数值减小的宗旨挪动，即按照下式更新坐标
其中 是一个合适大小的正数。
我们用上头的函数来老到一下， ，取 ，假定初值 ，迭代流程如下：
若运行值为 ，迭代流程为： 可见，按照这种方式更新自变量，函数值是一步步减小的，如下图所示，最终贴近函数的最低点位置 。
有东说念主可能扫视到上头迭代的一个细节，自变量挪动的步调越来越小，这是因为越聚首函数极值的场地，梯度越来越小，如下图所示，越聚首极值处，切线的斜率越小。这是梯度下落法的一个优点，因为在离最低点比较近的时候，本来就需要减速脚步缓缓聚首，要是步子迈得太大，可能越过了最低点，而跑到了另一侧，造成支配反复而不可充足接近最低点。
自然，上述梯度前边的统统 的取值很瑕疵，它是用来铁心挪动的步长的，此处就不扯太多了。
以上笔据一元函数阐发了梯度下落法，对于二维以上的情形，风趣是一样的。只不外，此时梯度不再是粗拙的导数了，而是一个矢量，但此时的数据点亦然一个矢量，通过减去梯度的 倍，渐渐更新坐标如下
时事上与一维情况是一样的，底下举一个二维的例子阐发一下。
问题：寻找 的最低点。
，取 。
设运行坐标为 ，迭代流程为：
在 上的挪动情况如下图所示，在约30次迭代后得胜贴近最小值处。
下图动画展示了曲面上的点挪动的情况，请凝视并自行脑补梯度下落四字之内涵。
现实研究中，东说念主们往往把寻找系统多样最优解的问题调换为寻找一个高维空间中的函数的最小值的问题。其中最瑕疵的任务是，如何从空间中的某一丝通过一条合适的旅途，高效的贴近阿谁函数的最小值的位置，梯度下落法只是其中一个常用的算法，还有好多其他的方法，如牛顿法等，梯度在其中齐饰演了特别瑕疵的变装。
1.12 向量有梯度吗？
先阐发下，向量与矢量是一趟事，分别是数学和物理中的两种叫法。
大大齐情况下，我们只会波及普通的标量函数的梯度。但在数学上，标量可看作一维向量。若对等的看待向量各个重量，对每一个重量，齐像标量的梯度那样界说梯度，那么就自但是然的界说了向量的梯度。
例如，探讨向量 重量 按标量一样有梯度 ， 和 也一样。
问题是，若何用这三个重量的梯度走漏 的梯度呢？
可能有东说念主意志到：矢量的梯度运算既不是点乘，也不是叉乘，那就径直仿照标量的梯度那样，二者之间什么也不写，记为 ，因此有
由于 是微分算子， ， 和 是常量，因此上式便是 当今的问题是，这里的三个重量的梯度自己亦然矢量，它们与 , 和 之间应该按照什么法则来运算呢？
其实，既然我们知说念，矢量的梯度便是它的重量的梯度，当今无非是把它走漏出来落幕，那就就先放下念念想背负，管他什么法则呢！先径直写出来再说！
那好吧，延续写 再硬着头皮延续写 写到这里，可能你会以为奇怪，这里的 ， 齐是些神马东西啊？
收拢一丝：我们这不外是为了把矢量的梯度走漏出来落幕！因此它应该便是一种合座象征，是的，它便是并矢。
你可将它交融为与 ， 差未几的东东，不外当今一共有9个，代表9个基矢，至于为什么是9个，那是因为我们的空间是3维的。
你还可把3个单元矢量放在一齐，例如 ，一共组成27个访佛的基矢。它们的线性组合便是张量。要是 个放在一齐，那就有 个基矢，对应的张量称之为 阶张量。
因此，并矢是二阶张量，矢量是一阶张量，标量是零阶张量。
要是空间不啻3维，例如是4维，则相应的 阶张量就有 个基矢。
但是很显著，这种多项式的抒发看起来很繁琐，既然只是一种象征走漏，我们完全可以写得更简略优雅！
一般领受矩阵的方法来简化这种多项式，例如矢量 它的重量排成一个有序列，即为矢量的矩阵走漏
访佛的，一个并矢，也可用矩阵来走漏。例如上头的 的矩阵走漏为 正如你看到的，这个矩阵中的元素枚举，与多项式中的基矢的统统的枚举不同，仔细看发现是有律例的：即次第对每行顺时针旋转90度，然后从左到右次第枚举，这种操作叫作念转置。例如，矩阵 的转置记作 ,很显著，它们的元素有如下对应关系。 还紧记前边提到的对于梯度的三个中枢精华关系式吗？这里再看下编号为(1.3)的式子，即
既然 和 齐是矢量，笔据矩阵乘律例则，我们将上式写成矩阵的时事 而矢量的梯度也有访佛的关系，之是以说“访佛”，因为矢量的梯度与坐标微元 之间不是普通的点乘运算，因为得到的成果是矢量的全微分，它仍然是矢量！用矩阵走漏如下看到这里，有东说念主可能大梦初醒了：这未便是全微分中的雅可比矩阵嘛？的确如斯！现实上，若逐项求出矢量的重量的全微分，并将成果中的那些项按步骤排成矩阵，很容易就得到了雅可比矩阵。
至此可得论断：矢量的雅可比矩阵的转置便是它的梯度的矩阵时事。
现实上，标量的梯度是上述律例的特殊情况，而对二阶以上的张量来说，其律例亦然访佛的，它的梯度是更高维的矩阵。
扯半天，你是不是对这里的梯度的真谛照旧有点懵？其实你想多了，矢量也好，以至高阶张量也好，与标量的梯度一样，它的梯度照旧归结于各个重量的梯度。只是为了简略，搞了这样一套矩阵的方法来抒发，一切不外是为了写起来和看起来更粗拙落幕。
对于梯度就说这样多吧，不知诸君看官交融如何？梯度对大大齐学过微积分或者普通物理的东说念主来说，基本齐知说念是若何回事，但或许没着实交融透。自然，本文不是写给那些对梯度熟烂于胸的东说念主的，对于那些刚刚学了一些高数，或者学完但还没若何用的东说念主，本文照旧值得仔细看一看的。
本文所用到的一些数学常识，比如矢量、导数和微分的主张，高中就学过，这个没问题。可能有些东说念主对偏导，泰勒展开，全微分和矩阵这几个东西不太熟悉，但我想说，这是学过高数最起码的要求，要是你对这些常识还不了解，你可得先花本领看下关系内容。
好了，接下来望望散度是什么。
www.crowngamezone.com2. 什么是散度？
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散度(divergence)，常用象征 走漏，界说为哈密顿算子与一个矢量函数的点乘，在直角坐标系中的抒发式为
那么，怎么智力更直不雅的交融散度呢？它有什么具体的物理真谛呢？
诸君且再次听我缓缓说念来。
2.1 从通量提及
日常中，东说念主们需要记载空间流过的流体的量，例如，水库泄洪的水量。但更多时候，东说念主们需要监测流体流动的快慢，例如单元本领内，有几许流体流往日了？
如上图所示，设水流过一个横截面积为 的管子，水的密度为 ，解析速率为 。显著，在 的本领内，任一截面左侧长为 的管内的水齐将流过该截面，即 这便是 本领内流过 截面的流体的量。东说念主们风俗用单元本领内流过 面的流体的量形容流体穿过 的快慢，称之为通量（Flux），即 若将截面看作念沿法向往右的矢量 ，界说流体速率矢量 以走漏单元本领，单元面积精真金不怕火过的流体质料，则 上头探讨通量过于粗拙，更一般的情形是，流体的速率不均匀，况兼 不是平面而黑白面，如下图所示。
这种情况下，将曲面看作是多个轻细的平面 拼接而成的，每一个轻细的平面的通量仍可按照上述粗拙的情形来策画 对上述成果乞降，当轻细的平面数趋于无限时，所得曲面积分即为通量 ，即
上述积分的一个问题是，曲面任何一丝的沿法线的两个相背宗旨齐可选作面积矢量宗旨，换句话说，曲面的左和右、上和下、前和后莫得齐全的辞别。即使我们对某特定曲面，可东说念主为商定整个点的面积矢量齐指向某一侧，但对随性非闭合曲面，却无法统一商定。
因此，对非闭合曲面，通量可正可负，因东说念主而异。但对闭合曲面，通量的象征是否可统一细目呢？
探讨一个球形容器，名义均匀散播无数个小孔，水从球内经小孔往外流出，同理，可得容器名义 的通量为
很显著，与非闭合的曲面不同，闭合曲面表里是可分袂的，故可以统一商定面积矢量的宗旨。东说念主们统一商定：由内向外的法向作为面积矢量的宗旨。笔据这个商定，若某处流体向曲面外流出，则该处的通量为正，否则为负。
如图，一个握住冒水和漫水的玻璃圆筒，它的侧面不透水，故通量为零；下底面有水参加，通量为负；上底面有水漫出，通量为正。
上述是用真实的流体——水来作念例子阐发的。但现实上，任何矢量 齐可以代替真实的流体速率矢量 来策画这种积分。即，任何矢量 齐可界说通量 典型的例子是电场强度 ，电场并非流体，但我们可将电场作为一种遐想的流体，对随性闭合曲面造成的通量叫电通量，用 走漏，即
2.2 通量的源
上头玻璃圆筒底部的有水握住冒出来，上头握住有水漫出来，你很容易猜想，冒出的水本领与漫出的水是等量的。再看底下这个灯泡，日复一日，灯泡发出的能量，要是不探讨被空气摄取，齐流过包围灯泡的某个面。
你应该知说念我想说什么了，是的，流体的通量老是有源可溯的。曲面上净流出的通量老是由曲面内某种源孝敬的。正电荷便是静电场的源，它像西纪行中的蜘蛛精的肚脐眼一样，握住往外射出无数电场线。
要是反过来，流体握住流入曲面呢？那阐发曲面里面也有一个源，不外是负的源，也称作汇，乃汇注之意。它像一个误差一样，握住吸入从曲面外参加的流体。
底下动画中，瀑布的水握住注入下方的深潭，深潭是瀑布的汇，因为包围深潭的曲面的通量为负。访佛的，静电场的汇便是负电荷，它看起来好像握住将电场线从外面拉进去糟跶掉。
可见，这里的“汇源”可不是什么“汇注五洲英才，源通四海钞票”之意哦。
流体的源并不是惟有一个点，而是散播在曲面包围的空间中，如下图中，无数迸发的炸药便是出射的烟花流体的源。
不言而喻，源的强弱决定了通量的大小。打个比方，有炸药发生了爆炸，造成向外扩散的气流，气流被激动的快慢取决于爆炸的威力，也便是炸药的量。它的量越大，它的冲击力导致空气朝四面八方流出的量越大。很显著，他们（空气流量与炸药量）之间便是一种通量与源的关系。
那么这个源能否量化的走漏？自然！从朴素的因果关系看，闭合曲面上每本领的通量齐来自里面空间的源的孝敬，要是对通量作念本领积分，即从通量开始到达成的全流程乞降，那得到的应该便是源的孝敬总量。
例如上头阿谁灯泡，从它开启到关闭，整个穿过玻璃罩的光和热，也便是通量的本领积分，数目上便是光和热的源，它便是灯泡的用电量。
按此交融，若通量踏实不变，闭合曲面里面的源在职一本领的总的孝敬便是该曲面随性本领的通量。
赌球为什么不能两边都买但若通量随本领变化，则任一本领曲面的通量，并非其里面的源在此刻的孝敬量。因为从里面各点发出的孝敬抵达闭合曲面需要本领，是以通量的策画在本领上是滞后的。例如，太阳名义每本领的发射，来自那些同期到达太阳名义，但发生于不同期刻和不同地点的热核反应的孝敬之和。
趁便说一下，在电磁学里，由于电荷散播或电流散播的变化，必须经过一段本领之后，智力够将其影响传播到场位置，产生对应的电磁作用，一般用所谓推迟势来形容。
好了，你好像明白了，通量是由曲面里面整个的点集体孝敬的，这种基于点的孝敬便是通量的源。对于“源”的骨子，在背面2.6节讲完对于通量的一个酷好的性质之后，你可能会愈加明白一些。
2.3 源的强度——散度
既然曲面 上的通量 齐来自曲面包围的空间 内的源的总孝敬，那么将这个通量除以 ，即 ，便是空间各点的源的孝敬的平均值（源的平均强度）。
但是，空间内的源的强度并非均匀散播，是以这种求平均的作念法真谛不大。
更何况，笔据前边所讲，由于本领的滞后性，对任一本领里面空间的源的总孝敬来说，它自己无法通过策画包围曲面的通量来获取。
能否想办法获取源在空间任一丝的孝敬呢？
若得到位于某点的一个无限小的闭合曲面 的通量 ，由于此时不存在本领滞后的问题，则该通量便是该点的源的孝敬。
但是，凭直观，当曲面 无限小时，其通量势必为零，即
因而，空间各点的源的孝敬也势必为零！若何办？
有了！参照上头提到的求平均值的作念法，将 除以相应的 ，即
这未便是源的平均强度的极限值吗？是的！
追念一下，在解析学中，瞬时速率的主张便是在平均速率的基础上通过如下极限来引入的 因此，很自然的，这个平均强度的极限便是源在该点的强度。代表点隔邻单元体积内孝敬的的通量。
在数学上，这个量叫作念 的散度，用 走漏。这便是散度的界说，即
对流体来说，皇冠直播 是速率场，即为 ，那么它的散度是空间点隔邻单元体积的名义上，在单元本领内，流出或流入的流体的量。
扫视，这里有一个细节问题需要剖析一下。
有东说念主提议，上述流体的速率场的的散度也可以说成
空间点隔邻单元体积内，在单元本领内，加多或减少的流体的量。
诚然在绝大大齐情况下，这两种说法是一致的，因为一般流体传输量是守恒的，例如质料、能量等。但广义上说，这是不一定的。因为你无法细目某个量是否能虚拟产生或隐没。例如，惟有我们确信了电荷守恒这一丝后，才据此得到电流的连气儿性方程——背面回头商榷。
到此，你好像基本交融散度的含义了，它代表通量的源的强度，或者粗拙的说，散度是通量的体密度！在背面的2.6节中，当你了解到通量的一个酷好律例之后，这一丝看起来更明晰。
博彩平台注册送优惠那么，该如何得到散度的抒发式呢？
2.4 散度的抒发式
如下图，设矢量 散播于空间中，有个极小的长方体的中心位于点P处，现策画 对此长方体的名义造成的通量。
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对长方体的六个面一一策画，先探讨上图中左侧面 的通量 侧面 中心位于P点左侧，距离为 ，该处矢量 为 由于长方体极小，上述矢量 值代表 上各点的 值。而 对应的法向宗旨向左（扫视：闭合曲面的法向章程为由内向外），是以 是以上头的通量 可近似走漏为 同理，与 正对的 的通量近似走漏为 这两部分加起来得到 由于长方体的体积刚巧是 故 当 时，必有 ，上头的 就变成 ，即 上式右边刚巧是偏导数 的界说，故得 相同的分析，另外的两对侧面也分别有访佛的论断 将此三式相加得 由于 故 上式左边刚巧是上节给出的散度的界说，故得 这便是散度在直角坐标系中的抒发式。
笔据del算子的界说，上式右边为 ，故散度最简略的抒发式为
2.5 柱坐标与球坐标下的散度
先看柱坐标系的情形。
如下图，位于点P 隔邻，险阻名义以蓝色艳丽的体积元 为 现调查它名义的通量。
名义 的面积矢量为 ，其中 的值为 而 中心处的场矢量 为
故通量为 ，即 同理，名义 的通量为 故此两名义的通量之和为 令 在上式双方同除以 得 当 时 ，上式中 变为 ，笔据偏导界说，即 访佛的，可得前后两个面的通量之和与 之比的极限 因为柱坐标的z轴与直角坐标一样，故险阻两个面的情况与直角坐标疏浚，即 全部加起来得到 笔据散度的界说，上式即为柱坐标系中的散度： 对于球坐标的情形，一样的套路，底下我丹青好了
郑人买履，得到球坐标系中的散度抒发式为
流程略去，读者可自行推导试试。
需要阐发的是，上节(2.3)式是矢量的散度的一般抒发式，随性坐标系下的抒发式齐死守它。
2.6 高斯定理
对于散度，一个最瑕疵的应用是，通过它，我们可将一个复杂的闭合曲面积分化为一个体积分。要交融这个问题，就要学习高斯定理。
在讲高斯定理之前，先来看通量的一个酷好的性质。
假定一个闭合曲面 里面的体积为 ，现将 作为由若干小块 , 拼成的，每一个小块的名义造成的通量分别为 , ，则容易阐明， 的通量 等于这些小块的名义的通量之和，即
底下以 为例来阐发。如下图，体积 被切成 和 两部分。 的名义由 和切面 组成，而 的名义由 和切面 组成，图中给出了各个面的法向矢量。
先来看两个切面 产生的通量，分别用 和 走漏。由于它们不是闭合曲面，是以法向可随性采取，这里采取向右为正宗旨，由于两个切面现实上重合在一齐，它们的通量一样，即 但对闭合曲面来来说，法向矢量应向外，是以 的切面的矢量应该向左，因此， 的名义的通量中，切面部分孝敬的通量应为 。
故得 和 名义的通量分别为 而整个这个词 的名义的通量显著等于 和 的通量之和，即 结伙以上三式，很容易发现
因此，总通量等于两部分体积的名义的通量之和。
若将 作为更多，以至无限多块拼成，上述论断自然照旧树立的。
是不是以为通量有点像质料？
是的！只不外通量有正负之分，但现实上广义的质料也可为负。
是以，通量与散度的关系，访佛于质料与密度的关系，因为质料也等于里面各个部分的质料之和，每一个部分的质料齐占一部分体积，密度便是质料与体积的比，正如散度是通量与体积的比。
因此，散度的含义看起来愈加泄露，它便是通量的体密度！
讲到这里，一会儿意志到，前边2.2节“通量的源”中所说的源便是将空间分红无限小的子块时，各小块的名义积的通量。换句话说，源的骨子是无限小闭合曲面的通量。源与通量的关系，访佛于质点与质料的关系。
将此律例按照通量的界说写出来便是
式中 是指切出的小块 的名义。
好了，当今据此推导高斯定理。将上头的关系式右边稍作变形 上式右边方括号内的部分，在 若无限小时，刚巧是散度。将 作为无数个无限小的小块拼成，则可得 高斯定理，也叫散度定理。
笔据此定理，矢量场的通量可以化为它的散度的体积分。背面将例如阐发它的应用。
2.7 一个例子——静电场
前边提到，造成通量以及散度的矢量 并不一定与流体速率联系，可以是随性其他的常矢量，例如静电场的强度 。
静电场是静止的点电荷引发的，探讨真空情况，抒发式为 静电场得志叠加旨趣，即 设空间中有点电荷 ，一闭合曲面 将其包围。
检会曲面上微元 ，它与该处的电场强度之间的夹角为 ，故该微元面积的电场通量为 式中 是微元面 沿着垂直于电场宗旨的投影面积，它得志 其中 是 对球心（也便是点电荷）伸开的立体角，代入上式得 积分得整个这个词闭合曲面的电场通量为
因此，点电荷 在包围它的随性闭合曲面上的电场通量为 。
那么，若某闭合曲面 并未将点电荷 包含在内，则该电荷对 产生的电场通量是几许呢？粗拙分析可以得出，谜底是零！
如图所示，点电荷 在闭合曲面 除外，画随性闭合曲面 包围电荷 ，并与 相交。曲面 的电场通量分为两部分，即 笔据前边已知论断， 的通量为 。
而 与 合成的闭合曲面将 包围，故电场通量也为 ，即 扫视，之是以此处 孝敬的通量为 ，因为 当今与 组成闭合曲面，与它属于 的一部分比拟，它的法向反向了。
同理， 与 一齐将 包围，故电场通量也为 ，即 以上两式相减得 ，阐明了论断：处于闭合曲面外的点电荷对曲面的电场通量莫得孝敬。
探讨到前边提到的电场强度的叠加性，当今可以得出静电场的高斯定理：随性曲面的电场通量等于所包围电荷的代数和除以 ，即 若电荷在曲面 内连气儿散播，则上式右边应通过对电荷密度积分来获取，即 将此式与散度定理比较，由于 是随性的，故可知 这是静电场的高斯定理的微分时事。意即：静电场的散度等于电荷密度除以 。
笔据正负电荷的不真贵况，高斯定理中的电荷或电荷密度相应的取正或负。因此，由于正电荷引发的电场指向四周，而负电荷相背。因此，对闭合曲面来说，里面正电荷的电场将从内往外穿过，而负电荷则相背。是以，正电荷为包围它的闭合曲面提供正的通量，负电荷相背。
若领受电场线来形容电场，则可愈加直不雅的交融上述律例。
笔据法拉第的电场线的主张，既然电场可用电场线形容，若按照一定的比例画电场线，使单元面积内条数在数目上刚巧等于电场强度的大小，即 那么就有
也便是说，电场通量可被看作为电场线的条数。
要是某点有正电荷或负电荷，包围该点的无限小闭合曲面必有电场线流出或流入；反过来，要是某个点有电场线冒出或隐没，则该点势必有正电荷或负电荷。换句话说，电场线不会在莫得电荷的场地中断。
这样，我们就很容易交融这样一个事实：层层包裹着电荷的不同曲面必定具有相配的电场通量。诚然前边照旧阐明了这个论断。
可以想象，当你站在曲面外看时，正电荷的电场线就从曲面射出，而负电荷的电场线则从外面吸入。基于这样一种物理图像，我们将正电荷称作电场的源，而将负电荷称作电场的汇。
自然，要是从引发电场的角度来说，不管正负电荷，齐是电场的源。
2.8 另一个例子——电流的连气儿性方程
上头讲了真空的静电场的散度，它对应的量是电荷的空间密度 除以 。
现检会电流密度 的散度。
电流密度是电荷流体的速率场矢量，即
其中 是电荷的空间密度，它等于单元体积载流子个数 与载流子带电量 的乘积， 是电荷解析的速率。
笔据散度定理有 上式左边——作为通量，它给出的是单元本领内流出闭合曲面 的电荷量。
要是电荷不可被创造，也不可被销毁，即电荷是守恒的，那么除了电荷转念除外，莫得其他转变电荷量的路线。因此，单元本领内，穿过曲面流出的电荷量与里面空间电荷的减极少必定相配，即
负号代表电荷流出。而曲面 包围的体积 内的电荷量可以为走漏为 故得 将此式与散度定理比较得 由于 是随性的，故 这便是电流的连气儿性方程。
风尚要是每个场地的电荷齐不随本领变化，即上式右边为零，那么得 这便是稳恒电流得志的基尔霍夫定律。
2.9 散度的物理真谛
从散度的抒发式——(2.2)式或更一般的(2.3)式来看，散度乃场矢量的重量的偏导之和，但这到底代表什么真谛呢？
皇冠账号有东说念主说，这代表了场矢量随空间坐标的变化率。但这种仅从数学式名义的交融并无多大匡助，况兼极易与梯度污染，而导致交融特殊。
例如，点电荷的电场既然随坐标变化，从直不雅上看，在职一丝的偏导好像不应该为零，因此应该有散度？是这样吗？
数学策画最可靠，我们来算一下就知说念了。
因为点电荷的电场散播具有球对称性，用球坐标更粗拙，抒发式为 笔据前边给出的散度在球坐标系中的抒发式，策画得 与(2.6)式给出的成果一致。
其实这也难怪，散度的抒发式只是严格策画的数学方法，它才不需要直不雅呢！
那么，我们就从别的角度来看散度的真谛吧。
第一个角度，散度的界说式，即(2.1)式诚然它亦然综合的，但只须你念念考多了，谁敢说你不可把综合作为你大脑中泄露的形象呢？
这里的极限走漏曲面无限减轻到阿谁点，也即是从阿谁点有场产生，换句话说，要是散度不为零，就意味着阿谁点成为场的泉源，它引发了场，而这个场因为具有源，而称为有源场。
例如太阳里面，但凡热核反应的点，散度不为零，便是发射源。池塘底部，但凡冒水或漏水的孔眼，散度齐不为零，便是水的源。
对真实的流体的速率场 ，其散度在数目上便是空间某点单元体积内流体的加多或减极少。例如电流密度 的散度便是流体密度的减少率。
第二个角度，散度定理，即(2.4)式 其实，骨子上讲，它和(2.1)式是差未几的。不外它更泄露的给出了这样一幅图像：穿过曲面的场的通量现实是源于曲面里面空间中某种物资的孝敬，而这种物资的密度 由这种场的散度给出。
粗拙的说，散度便是某种物资的密度。
自然，物资现实上往往并不存在，但我们仍然可以想象有一种物资，例如对电场电场来说，笔据上一节静电场部分所讲，这种物资便是电荷——诚然电荷并非着实的物资。
对静电场来说，(2.4)式具体化为(2.5)或(2.6)式，电场背后的这种物资便是电荷，而电荷的密度 便是电场的散度——既然取合适单元制可让 等于1。
那么，什么情况下，散度成为真什物资的密度呢？
谜底是万有引力场。
探讨质点 产生的万有引力场
由于与静电场时事疏浚，齐具平方反比的时事，仿照前边电场的情况，很容易导出 可见，引力场的散度是真什物资在空间的散播密度。若采取合适的单元制，散度便是物资密度自己。是以，质料是引力的源，天地中整个具有质料的粒子齐能产生引力。但比拟粒子间其他作用，引力的强度很小，故一般可忽略。
再回到散度定理。闭合曲面的通量由曲面里面空间中的某种“物资密度”——散度的体积分决定，即使外部也存在这种“物资密度”，不会对曲面通量产生孝敬。换句话说，曲面的通量源于里面的源的孝敬，与不属于曲面内的源无关。
要是把场线看作是流体速率场，你站在一个闭合曲面外面，从哪个曲面冒出流体，你自然认为这些流体齐源于哪个曲面中的一些流体源；要是有流体参加这个曲面，你也会认为曲面内包含了一个流体源，不外它是负源，或者称作汇。
多年前某个冬日的下昼，我忍着饥饿听高数敦朴讲高斯定理。好拆开易熬到下课，食不充饥的我冲进食堂，一个个可人的肉包子映入我的眼帘。显著我猛烈的感受到这种握住从包子内清闲出的引诱力，而它们那顶部呈现发射状斑纹愈加走漏了它们的含肉量极大——散度！
我顿悟了。
从一颗香喷喷的包子里发出的引诱力由包子里的肉量来决定，与包子外面的肉量无关。
2.10 拉普拉斯算子
散度是哈密顿算子与矢量点积，要是这个矢量是某个标量的梯度，那么就导致了梯度的散度，在直角坐标系中便是常常用 来代替 ，称之为拉普拉斯算子。它将一个标量函数 映射为另一个标量函数， 给出函数 的梯度的坐标变化率，为了论说粗拙，我们称之为函数的Laplacian。
要是空间惟有一维，Laplacian退化为二阶导数。也便是说，一元函数的二阶导数可看作是Laplacian的一个特例，这有助于交融Laplacian的真谛。
对一元函数 来说，要是局部是线性的，那么梯度便是常数，而梯度的导数为零，也便是 ；要是诟谇线性的，局部有两种可能，凸或凹，而梯度——函数增大最快的宗旨，分别指向和背离该点，对应的 分别小于零和大于零，这一丝也可借助函数的极值的律例获取。
而对二元函数 来说，要是它的局部是平面，自然就属于 的情况。这阐发函数 所形容的场是均匀变化的。对多元函数来说，亦然这样。
而对凹点或凸点，Laplacian取正或负，它源于场函数的梯度的散度为正或负。如下图所示，凹点隔邻，场线为向外射出的箭头——源；凸点隔邻，场线为向内射入的箭头——汇。
就拿电场来说把，若某点电势得志笔据 ，得 ，空间在该处莫得电荷。不外，这不代表电场是均匀的。
相同对电场来说，笔据 ，可知
因此，电势函数的凸点隔邻有正电荷，而凹点隔邻有负电荷。这是显著的，当以无限远方电势为零参考点，正电荷隔邻电势为正，负电荷隔邻电势为负嘛。
为了看清Laplacian的真谛，底下我们来看一个点从凹点移到凸点流程中Laplacian变化。
当它位于凹点时，周围齐比它高，它的Laplacian大于零；随着这个点移向凸点，周围出现比它还低的点，但比它高的点还占大齐，这导致它的Laplacian减小；直到抵达某个平坦位置——着实的说是坡度恒定的位置，这个点周围比它低的点与比它高的点一样多，它的Laplacian变为零；然后逐渐的，它周围比它低的点逐渐占优势，Laplacian小于零；直到当它出当今凸点处时，周围整个点齐比它低，Laplacian取负值。
可见，Laplacian可直不雅的被交融为场的平均变化率，即曲面上某点与隔邻各点连线的斜率的平均值。
就地函数往下凹时，则场的平均变化率为正，反之为负。对那些均匀变化的场，它将形容一个平面——不是水平面，场函数的平均变化率为零。而若场在某点的平均变化率为零，则场在该点的值可用隔邻各点的平均值来代替。
Laplacian是图像处分范畴瑕疵的数学用具之一。
例如，它常被用来检测图像角落。其基容或趣是，当图像平滑的变化时，Laplacian接近0；而当图像强度彰着变化的区域，Laplacian的齐全值较大。
再例如，它还被用于增强图像，诊疗图像亮度和面目的过渡等。
拉普拉斯算子的应用特别平常，但篇幅有限，就不再过多波及了。
3. 什么是旋度？
旋度(curl)，常用象征 或 走漏，界说为哈密顿算子与一个矢量函数的叉积，在直角坐标系中的抒发式为
那么，怎么智力更直不雅的交融旋度呢？它又有什么具体的物理真谛呢？
前线水流湍急，诸君请系好浮水衣，随着我完成此次惊恐的冲浪。
3.1 从曲线积分讲起
好多场合下，东说念主们需要获取某个量沿着一条曲线的积蓄。
最粗拙的例子，为独特到一条曲线的长度，从起始开始，顺着曲线画出首尾揣摸的折线，如下图所示。
只须这些折线充足短，那么这些折线的长度之和便黑白线的近似长度，即 若要得到充足充足精准的长度值，每段 必须特别小，当它们趋于无限小时，就得到准确的长度，此时上式就变成积分，即 再来看物理中作念功的例子。设以物体质料为 ，与水幽谷面间的摩擦统统为 ，则摩擦力在物体发生 的位顷刻作念功为 其中 ，即 的宗旨，代表积分的绕行宗旨，它沿曲线的切线宗旨行进，顺时针或逆时针，一朝遴选， 的宗旨在整个这个词积分旅途上是连气儿的。换句话说， 不会在职何位置调转反向，例如下图就给出了一个逆时针的积分宗旨。
设作念功旅途为曲线 ，由于无限短的曲线与其弦长大小一致，因此 则作念总功为 这些例子便是所谓的曲线积分，可统一走漏为 走漏某个量 对曲线的积蓄。对曲线的长度来说， 为常数1，积蓄得到长度；而对作念摩擦力作念功来说， 是力，积蓄得到所作念功。
摩擦力作念功有点特殊，对一般力来说，它的宗旨并不一定沿着轨迹的切线宗旨。既然惟有沿着切线宗旨的分力作念功，当用矢量 代替上式中的 时，只须将 也用 代替，即可保证依然得到作念功的值，而克己是，我们可以将上述曲线积分写成矢量时事，即
很显著，只须将 记作 的切向重量，即 可回到标量时事的曲线积分。
由于有向线元 ，因此曲线积分也往往简写为
3.2 一种特殊的曲线积分：环量
东说念主们风俗将闭合旅途上的曲线积分称作环量。
例如，一个闭合线圈的质料便是它的线密度 所导致的环量，即 物理上最常见的例子是变力作念功，在一个随坐标变化的力 作用下，质点沿闭合旅途 解析，则作念功便是力所导致的环量，即 对一个随性的环量，用来作念曲线积分的 是一个随性的场函数，即 因此，环量是指场矢量沿曲线的积蓄，着实的说是场矢量沿切线的投影值与曲线微元的乘积的总数，用矢量的讲话说便是场矢量与旅途上逐点所对应的微分矢量的点乘之和！ 既然环量是两个矢量点乘然后积分，那么得到的老是一个标量。有东说念主将环量交融为场矢量自身沿曲线积蓄所得，这是分歧的，因为那将得到矢量。还有东说念主将曲线自身的微元矢量积蓄看作念环量，即 ，这也分歧，这只是将全部的曲线微元矢量累加起来，成果恒为零！
最闻名的环量来自电场强度和磁感应强度。学过大学物理的东说念主知说念，静电场对空间随性闭合回路积分齐为零，而感生电场的场线自己是闭合的，是以它的环量可以不为零。磁场不分种类，齐是闭合曲线形容的，因此磁感应强度的环量可以不为零。
扫视，好多东说念主张口就来：“磁场的闭合回路积分不为零”，这是不着实的，磁场的环路积分到底是不是零，取决于你的积分旅途。现实上，当你的积分旅途中莫得穿过任何电流时，积分自然等于零。
亚盈体育app官网下载要是你问我，环量代表什么物理真谛？这需要笔据具体情况来说。例如当被积函数是某种物资的线密度时，环量便是物资的质料。当你将涡旋电场沿一个闭合旅途积分时，你得到了一个电动势，因此感生电场的环量是电动势。
对一般情况，环量并不代表什么着实的含义。它便是场矢量在闭合旅途上的一种空间积蓄！要是你想起功的界说——力对空间的积蓄，你好像可以将环量交融为某种广义的“力”对闭合旅途所作的“功”。
3.3 环量背后的对应者
那么，为什么在数学上，环量是一个瑕疵的东东呢？
要是你认为一个圆的周长是环量，周长增大自然会导致面积增大。是以，凭直观可知，环量与其包围的空间内的其他量关系。例如，腰身是响应脂肪总量和脂肪散播的综同谋略。
追念前边讲过的通量，笔据高斯定理，通量势必与引起它的某种流体源的体积分对应。访佛的，环量也有它的对应者。
一个最直不雅的例子，旋转的陀螺具有沿轴向的角动量，角动量与陀螺里面点的速率（速率场）之间造成一个右手螺旋关系。既然如斯，速率场的环量势必与垂直于速率场地在平面的某个量之间存在一个等式关系。
另一个例子是如下图的一个漩涡喷泉的例子，从底部冒出的水绕中心在水平面内旋转，水面握住飞腾，水的速率导致的环量与飞腾的水面之间存在一个等量关系。
要是上头的例子只是让你蒙胧的嗅觉是那么回事，即存在一个环量的对应量，那么底下两个例子就特别明确了。
第一个例子是，通电导线周围出现绕着它的环状磁场线，磁场与电流成右手螺旋关系。表面标明，磁感应强度的环量与电流之间只进出一个比例统统，而电流未便是电流密度所造成的通量吗？
第二个例子是，当空间中出现感生电场时，势必存在一个与该感生电场成螺旋关系的磁场本领变化率。显著，感生电场的环量势必与阿谁变化的磁场地引起的一个量之间具有等量关系。学过电磁学的东说念主知说念，这个由磁场导致的量便是磁场随本领变化率的通量。
看起来，环量似乎老是与一个通量联系？没错！环量的背后势必对应一个通量，着实的说便是以环为范围的曲面上的一个通量！
要是说，闭合曲面的通量对应它包围空间的体积分，那么闭合旅途的环量对应它包围曲面的曲面积分。简言之，环量之于面积分，犹通量之于体积分也！
也许你对上头讲的这些还不太明白，不关键！你当今只须确信：环量的地位犹如通量一样瑕疵，况兼有一个潜在着用来替代它的东东存在，它应该是一个与环路关联的一个面积分。
底下先来看环量的一个瑕疵性质。
3.4 环量的一个瑕疵性质
还紧记在散度部分，我们阐明了这样一个论断：将随性时事的体积 分红若干个更小的体积 时，这些更小的体积的外名义的通量 之和等于整个这个词体积 的外名义的通量 ，即
环量也有一个访佛的性质。如下图，回路abcda的环量等于afgda和fbcgf的环量之和。
这很容易看出，中间那一条竖线在支配两个回路中的积分宗旨相背，因此孝敬的积分互为相背数，相互对消。故得：
要是探讨更复杂一丝的情况，这个论断亦然树立的，如下图，4个回路的环量之和等于整个这个词回路的环量。
指不胜屈，若将整个这个词闭合回路分割成好多个小的区域，如下图，整个这个词回路的环量可以看作是它里面包含的无数个小的回路的环量之和。
写出来便是 若将一个闭合回路包围的面无限细分为无限小的区域，上式中的乞降就变成积分了，即 一个有限大小的闭合旅途上的环量，可以作为是由无数个同宗旨的微元旅途上的环量累加造成的。
想象你推着一个东西在大地转了一个圈，你不是作念了功嘛！但是，你可能想不到的是，按照这种环量的累加念念想，就在你转的阿谁大圈内，此刻正夸耀出无数个小漩涡，你所作的功齐来自这些小小的漩涡之中涌动的动荡。
其实，这一条性质早就被法国物理学家安培发现了，他提议：自然磁性是基于里面的无数个分子环流同向枚举而造成的。如下图，这些无数个分子环流合在一齐，在磁铁的名义造成一个大的环电流——磁化电流。
与此关系的，安培还发现了以他的名字定名的“安培环路定理”，此乃后话，暂且不表。
3.5 旋度的界说
既然一个闭合旅途对应的环量，可以看作是其包围的面内无数个小的环量的总数，那么自但是然的，你可能会想：将一个闭合旅途的环量除以它包围的总面积，是不是就可以看作是单元面积上的平均环量呢？即
这便是单元面积上的平均环量。环量是一种形容物理量沿闭合旅途的积蓄，那么这个平均值就代表单元面积的范围上领有的平均积蓄。但很显著，这个平均值的真谛不大，因为面上的环量的散播一般不是均匀的。
与前边讲“通量的源的强度”访佛，既然平均值没啥真谛，那就来研究一下随性点隔邻无限小的闭合旅途的环量，诚然范围亦然无限小，但面积也趋于零，是以它们的比值将是一个有限值，即
既然闭合曲面照旧缩至其里面的一丝，上头这个式子就给出了环量赋予空间的密度，由于除的是面积，是以是面密度。
看到这里，你可能照旧发现了，这套路似曾领悟，对啊！这模式与散度界说式(2.1)何其相似哦！
难说念真是就要这样界说旋度了？
差未几，其实这的确可以看作是旋度界说的基本念念想。
但是，比起散度，旋度的界说还有一丝不同，它波及宗旨，换句话说，它必须被界说为矢量，而不是标量！
为什么呢？
前边提到了，这个所谓的密度是面密度。但是空间任一丝的面即使大小一样，也可以有不同的宗旨，在不同的方朝上，这个密度自然有辞别的！
上头算出的极限，只是沿着你指定的某个宗旨的平面上的环量密度，而不代表一般情况。
现实上，在前边联系通量主张中照旧讲过，物理学中的面被界说为矢量，你用来求上头阿谁极限的面 在你心目中必定是有宗旨的！对一个细目的闭合旅途来说，以它为范围的面积矢量商定为与积分绕行宗旨成右手螺旋关系，例如底下这个面积宗旨朝上。
那么问题就来了，旋度就其本意，只应与某个点关联，但上头的极限抒发式却将其局限于只是走漏闭合旅途 包围的面 上的环量密度！
是以，旋度自己是一个场矢量，只不外它沿着 单元矢量 的投影值是上头阿谁极限，按此交融， 的旋度要是用 走漏，那么它应该得志
是以，旋度是一个矢量，它在你所暖热的的积分回路的右手螺旋方朝上的投影值，等于该回路包围的面积上的环量密度。
这便是旋度的界说！
是不是有点怪怪的？的确！有东说念主怀疑这个界说不够把旋度细目下来，还有东说念主认为上头阿谁 是不是应该乘在等号右边，自然不是，记取：旋度只由场矢量 决定，只与所在点的坐标联系！
至于旋度的抒发式，还没来得及讲呢！底下就来了。
3.6 旋度的抒发式
如下图，设矢量 散播于空间中，有个极小的长方体的中心位于点P处，现策画 对此长方体的六个面中可视的3个面 , 和 拼成的面 的范围 （图顶用红线标出）上的环量。
笔据上节阐明的对于环量的性质， 面的范围 的环量等于所包含的三个分区的范围（设分别记为 ， 和 ）的环量之和，即
整个这个词旅途的环量应该可以因此而求得。
当今来策画 ，即图中平面 的范围的环量。
为了看的更明晰，画出从 轴向下鸟瞰的 如下，它的四条边分别用a、b、c和d走漏。底下次第对这四条边沿着箭头作念积分。
a边的线积分为
由于我们检会的积分旅途极小，因此上述成果约为 访佛的，我们得到其他三边的线积分约为 因此环量 为 其中 探讨到面积 ，上式可写成 故得 的值为即 当 时上式取极限得 同理，要是分析上头长方体右侧面范围的环量，可得 而分析正前边的范围的环量，可得 笔据上濒临于旋度的界说，它在某个细目的积分回路的右手螺旋宗旨的投影值等于该回路面积上的环量密度的极限值，这阐发 这阐发在直角坐标系中， 的三个正交重量分别便是这三个环量密度的极限值，故得旋度的抒发式为
熟悉矢量叉乘法则的东说念主一眼看出，旋度刚巧是哈密顿算子与矢量场 的叉乘，即 要是诳骗行列式的运算法则，旋度可以记为
不外，这只是直角坐标系中的旋度的抒发式，对于常用的球坐标系和柱坐标系，背面也给出一个粗拙的推导。
3.7 斯托克斯定理
前边提到的 的抒发式，当 时，即为一个微元旅途的环量同理可得 和 而既然 当 时，上式双方齐是无限小量，写成微分时事 是以 对此式在 包围的随性曲面积分，即得 上的环量。
要是用矢量走漏面积，并章程它的宗旨与其范围上的积分宗旨成右手螺旋关系，那么上述 对应的矢量可以写成 因此环量可写为 而作为一个环量，它是相应的闭合旅途上的曲线积分，即
因此得到等式 这便是数学中昂首不见垂头见的斯托克斯定理， 它的二维时事也叫格林公式。
这个定理的冠名者是爱尔兰闻名物理学家斯托克斯，但现实上他并不是这个定理的发现者。这事一言难尽，这里就不谈了。不外可以细目的是，麦克斯韦1854年便是因为阐明这个定理而获取剑桥大学的数学学位，况兼神奇的是，他一世最伟大的孝敬离不开这个神奇的定理，对此，本文后半部分将作粗拙先容。
斯托克斯定理告诉我们：矢量场在职意闭合旅途上的环量等于它的旋度在以疏浚旅途为范围的随性曲面上的通量。
闭合回路积分往往比较复杂，而斯托克斯定理的一个瑕疵作用是，这类积分可用一个面积分来替代，可能会令问题变得粗拙。
你看到了，前边说过的阿谁避讳在环量背后的通量找到了，它便是矢量场的旋度在闭合旅途包围的面上的通量！
3.8 柱坐标系和球坐标系中的旋度
这一节的套路与3.6节如出一辙，其实没什么值得好说的，探讨到完满性照旧简短的讲一下，不感酷好可以跳过。
先看柱坐标系的情况。
如下图，设矢量 散播于空间中，有个极小的体积元的中心位于点P处，现策画 对此体积元的3个分别用白色，黄色和蓝色标出的面 ,ΔSθ和 拼成的面 的范围 （图顶用红线标出）上的环量。
与前边的方法访佛，先策画 范围 的环量 。
为了看的更明晰，画出从 轴向下鸟瞰的 如下，它的四条边分别用a、b、c和d走漏。底下次第对这四条边沿着箭头作念积分。
扫视到a、b、c和d的长度分别为 这四边的线积分近似分别是 环量 近似为上述四个积分之和，则在 上的环量密度近似为 其中 当 和 齐趋于零时即为
访佛的分析可得 以及 按照旋度的界说，以上三个极限值分别等于旋度与对应的三个单元矢量 , 和 的乘积，即柱坐标系中旋度的三个重量！
而柱坐标系与直角坐标系一样亦然正交系，因此得旋度抒发式为
再看球坐标系中的情况。
探讨球坐标下的某体积元，如下图所示，三个平面可视名义分别标记为 , 和 ，它们组成被红线包围的曲面 。
只须按照前边访佛的方法来分析，不辛苦到球坐标下的旋度的抒发式。我以为没必要重迭讲。我信赖，稳重读了前边内容的读者应该也知说念若何作念，要是我重迭讲，可能说我啰嗦——自然我很舒坦有东说念主这样说，因为这阐发他真是懂了！
看一册书时，若你以为那本书有些场地反复的啰嗦讲访佛的东西，那阐发你照旧深谙那背后的套路了！
是以，就径直给出球坐标系中的旋度抒发式吧，你可以我方推导一下。
球坐标系中的旋度为
3.9 积分与旅途无关的条目
曲线积分好多时候是令东说念主头疼的一件事，因为你必须沿着给定的旅途，从起始一直积分到极度。
那么，有莫得简化的办法呢？
比如说，我们需要将某个积分沿着底下这个函数给出的旅途（图中蓝线所示）进行，有没可能用沿着绿色或红色线的积分来替代呢？
这便是数学中的积分的旅途的零丁性问题，它回复曲线积分在什么条目下与旅途无关的问题。
你可能会以为我扯得有点远，明明在讲环量与散度，若何会扯到这个问题上去？
其实，前边讲到的斯托克斯定理刚巧提供了回复这个问题的念念路。
斯托克斯定理告诉我们，对单连通的域上的光滑的函数（这句话的真谛背面讲），闭合旅途积分等于它的旋度对旅途包围的曲面的通量积分。 要是某个矢量场 的旋度为零，那么 对随性闭合旅途的积分不齐为零吗？
皇冠信用正网没错！
而一朝场函数对随性闭合旅途积分齐为零，则势必导致它的积分与旅途无关！
这一丝很容易交融，因为你总可以将一个不闭合的曲线的始结尾用另一条随性曲线揣摸造成要给闭合旅途，如下图所示， 曲线 与 组成闭合旅途 。
若它的环量为零，则 意味着这两条曲线的曲线积分互为相背数，故 而 可随性采取，这样画出的旅途亦然随性的，这阐发只须积分的始末位置疏浚，曲线积分就疏浚——积分与旅途无关！而这是由 的旋度为零所导致的。因此场矢量函数的旋度为零将导致场函数的积分与旅途无关。
自然，前边提过，由于斯托克斯定理是针对单连通的域上的光滑函数来说的，因此上述由旋度为零推得曲线积分与旅途无关的论断并不是渊博的。
是不是以为好综合？其实很粗拙！
回到之前我们用的一张图，我们照旧阐明了，整个这个词区域的范围上的环量等于里面包含的全部无限小的环量之和，而每个微元环量便是旋度乘以微元面积。既然里面各点旋度齐为零，那么这些无限小的环量齐为零，因此整个这个词范围上的环量势必为零。
是以，重力和静电场力之是以不作念功，便是因为，当它们推着质点划过空间造成一条闭合旅途时，轨说念包围的任何曲面莫得激起一丝旋动，自然就莫得积蓄任何功了。
但上头这个论断依赖一个粗拙的前提，那便是你的闭合旅途里面不可有孔洞，比如下图中左边这种域是可以的，而右边这种域就不得志要求。
其实风趣很粗拙，域的里面，整个相互聚首的微元环路在邻近点处的环量是相互对消的。但最聚首范围上的每个微元回路与域范围相切的点处的环量将保留住来，这些点连成一条线，其总环量刚好便是阿谁闭合的外范围的环量，这便是“合座环量等于里面整个环量之和”的由来。
要是当今中间冒出一些孔洞来，那完蛋了，因为那些孔洞的范围上也会有环量的积蓄，导致前边提到的阿谁”合座环量等于里面整个环量之和“的性质不再树立了！那么，斯托克斯定理也就不再树立了！
自然，你要问我，现实天下中的一个力场，是否存在这种孔洞？率直讲，其实我也不知说念，不知说念黑洞算不算？知说念的东说念主一定要告诉我。
至于为什么要求是光滑的函数，其实便是要求函数可导，既然斯托克斯定理里面一堆求导，要是导数齐莫得，无米难为炊啊！
要是你问“光滑”这个说法是咋来的，为什么用来走漏可导，建议阅读本公号之前发的一篇著述“稳妥高中生和大一更生的泛泛微积分：导数、微分、偏导和全微分”。
因此，严格来说，我们不可由旋度处处为零，得出随性闭合旅途的积分为零的论断，除非场是由单连通的域上的光滑函数形容的。
但是，反过来的说法——\"随性闭合旅途的环量齐为零，则旋度必为零\"是渊博树立的。
在物理学中，某个力作念功是否与旅途无关，决定它是不是保守力。 换句话说，要是一个力是保守力，那么它必定在空间随性闭合旅途齐不作念功。
那么，笔据上头阿谁逆命题可知，保守力场的旋度必定处处为零。例如万有引力，静电场力齐是保守力，是以它们的场齐是无旋场。
对于保守力的问题，可阅读本公号之前发过一篇著述”什么是保守力“。
3.10 一些旋度的例子
看到旋度，大大齐东说念主随即猜想诸如动弹、漩涡和卷曲等，于是就认为但凡有旋度的场地，场必定齐是周折的，代表 场的曲线必定齐是闭合的曲线，是这样吗？
来举几个例子望望。
先来看一个可能照旧反复出当今你的脑海中的例子，在水桶中旋转的水。好多东说念主齐想过，水的旋度必定与角速率联系，而且，角速率越大旋度必定也越大，这是一种直观。
对分歧呢？我们来望望。
假定水围绕某个中心在水平面内旋转，设角速率为 ，设零本领水的角位置 为零，则随性本领的角位置为 在直角坐标系中，水的位置为 假定水完全莫得径向速率，因此上头的 与本领无关，求导得速率为 这便是水的速率场。
扫视，什么叫场？便是坐标的函数嘛，有些力无法只是用坐标走漏出来，例如洛伦兹力，是以不在商榷之列。
望望它的旋度，很粗拙 哦，看到了吧，角速率真是就负责提供了旋度，稳妥大大齐东说念主的直观！
在流体速率散播的空间中，这种由旋度导致的东东叫涡度(vorticity)。本例中，它刚巧等于流体角速率的两倍。
要是你放一只带有转叶轮浆的划子到这个水中随性位置，划子的轮浆深信会动弹起来——扫视，这里我不是说它随着水流走，它自然会，但它还会动弹！否则若何叫旋度呢？仔细看底下这个图，你会发现什么？
再看另一个例子，设水速散播为 这是一个速率大小随坐标变化，但宗旨却保握水平的水流，画出来好像是这样形状的。
齐全莫得漩涡吧？看形状旋度似乎应该为零，但是按照旋度的抒发式求得 涡度沿垂直纸面向外的宗旨，是以当放一只小叶轮在这水上，它会逆时针转起来，如下图所示。
诚然流体速率并无卷曲，但因为速率大小不是均匀散播，会导致一种动弹力矩，导致叶轮动弹。
从这个例子可以看出，即使场的散播宗旨是均匀一致的（例如上半部或者下半部区域），也便是说形容场的场线是直线，但却依然产生了旋度！是以旋度并不老是被涡旋状的流体速率场地领有，它还会深藏在名义看起来笔直的速率场之下！就像平安的河水下避讳的暗潮，随时准备将你拽入那可怕的漩涡之中。
不外，风车的动弹并非源自旋度。因为风是正对着吹来的，不会提供相应宗旨的旋度。是以风车动弹与气流速率场的旋度关系不大。
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再看一个例子，设有速率场为
这个速率场形容出来是这个形状，看起来好像有一种涡旋的嗅觉吧？
但是笔据旋度策画却得 是不是有点无意？
这个例子又告诉我们，场线即使是环形的，也不一定产生旋度。
总之，涡旋场与有旋场根底不是一趟事。场自身场线的涡旋与场的旋度对应的漩涡也不是一趟事，前者一般是彰着的，广域的，此后者一般是避讳的，况兼是局域的。
3.11 电磁学中关系的例子
电磁学中联系旋度的最瑕疵的定理是安培环路定理。它指出，真空中随性闭合回路上的磁场强度的积分，等于该回路中穿过的电流的代数和，...